Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang

Tìm x trên hình 41

Phương pháp giải

Áp dụng định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\widehat {AKI} = \widehat {ACB} = {50^o}\) (giả thiết) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(IK // BC\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Mà \(KA = KC=8\;cm\) suy ra \(K\) là trung điểm của \(AC.\)

Từ đó áp dụng định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Ta suy ra được \(I\) là trung điểm của \(AB.\)

\( \Rightarrow IA = IB = 10cm \Rightarrow x = 10cm\)

Tính khoảng cách AB giữa hai mũi của compa trên hình 42, biết rằng C là trung điểm của OA, D là trung điểm của OB và OD = 3cm.

Phương pháp giải

Áp dụng: tính chất đường trung bình của tam giác.

Hướng dẫn giải

Vì \(C\) và \(D\) lần lượt là trung điểm của \(OA\) và \(OB\) (giả thiết) 

\(\Rightarrow CD\) là đường trung bình của  \(∆OAB\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow CD = \dfrac{1}{2} AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow AB = 2CD = 2.3 = 6cm\).

Cho hình 43. Chứng minh rằng AI = IM.

Phương pháp giải

Áp dụng

• Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
• Đường trung bình tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Hướng dẫn giải.

Xét \(∆BDC\) có \(BE = ED\) (giả thiết) và \(BM = MC\) (giả thiết)

\( \Rightarrow  ME\) là đường trung bình của \(\Delta B{\rm{D}}C\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow  EM // DC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow  DI // EM\) (Vì \(D, I, C\) thẳng hàng)

Xét \(∆AEM\) có \(AD = DE\) và \(DI // EM\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  AI = IM\) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba).

Tìm x trên hình 44

Phương pháp giải

Áp dụng

• Tính chất trung điểm.
• Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(IM = IN\) (giả thiết), \(IK // MP // NQ\) (vì cùng vuông góc với \(PQ\))

Do đó \(MNQP\) là hình thang có hai đáy là \(NQ\) và \(MP\). 

Ta thấy đường thẳng \(IK\) đi qua trung điểm \(I\) của cạnh bên \(MN\) và song song với hai đáy \(NQ, MP\)

\( \Rightarrow  K\) là trung điểm của \(PQ\) ( Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai).

\( \Rightarrow  PK = KQ = 5\,dm\) (tính chất trung điểm)

Vậy \(x = 5\,dm.\)

Hai điểm \(A\) và \(B\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường \(xy.\) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(xy\) bằng \(12\,cm\), khoảng cách từ điểm \(B\) đến \(xy\) bằng \(20\,cm.\) Tính khoảng cách từ trung điểm \(C\) của \(AB\) đến \(xy\)

Phương pháp giải

Áp dụng

• Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
• Đường trung bình hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
• Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
• Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Hướng dẫn giải

Kẻ \(AH, CM, BK\) vuông góc với \(xy\) (\(H, M, K\) là chân đường vuông góc). 

\( \Rightarrow AH//CM//BK\) (cùng vuông góc với đường thẳng \(xy\))

\( \Rightarrow\) Tứ giác \(ABKH\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang)

Xét hình thang \(ABKH\) có: \(AC = CB\) (giả thiết)

\(CM // AH // BK\) (chứng minh trên)

Suy ra \(MH = MK\) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai)

\( \Rightarrow CM\) là đường trung bình của hình thang \(ABKH\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của hình thang)

\( \Rightarrow\) \(CM = \dfrac{{AH + BK}}{2} = \dfrac{{12 + 20}}{2} \)\(\,= \dfrac{{32}}{2}\)\(= 16\left( {cm} \right)\) (tính chất đường trung bình của hình thang)

Vậy khoảng cách từ trung điểm \(C\) của \(AB\) đến \(xy\) bằng \(16cm.\)

Hình thang \(ABCD\) có đáy \(AB, CD.\) Gọi \(E, F, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD, BC, BD.\) Chứng minh ba điểm \(E, K, F\) thẳng hàng

Phương pháp giải

Áp dụng

• Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
• Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
• Tiên đề Ơclit: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải

- Xét \(\Delta AB{\rm{D}}\) có: \(E, K\) lần lượt là trung điểm của  \(AD, BD\) (giả thiết)

\( \Rightarrow  EK\) là đường trung bình của \(\Delta AB{\rm{D}}\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow   EK // AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

- Xét \(\Delta DB{\rm{C}}\) có: \(F, K\) lần lượt là trung điểm của \( BC, BD\) (giả thiết)

\( \Rightarrow  FK\) là đường trung bình của \(\Delta DB{\rm{C}}\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow  FK // DC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mặt khác, \(AB // DC\) (vì \(ABCD\) là hình thang) nên suy ra \(FK // AB\) (2)

Từ (1) và (2) ta có qua điểm \(K\) không thuộc \(AB\) có hai đường thẳng \(EK\) và \(FK\) cùng \(//AB\) nên theo tiên đề Ơ-clit thì ba điểm \(E, K, F\) thẳng hàng

Tính x, y trên hình 45, trong đó AB // CD // EF // GH.

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Hướng dẫn giải

Vì \(AB // EF\) nên \(ABFE\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang)

Vì \(CA = CE\) (giả thiết) và \(DB = DF\) (giả thiết) 

 \( \Rightarrow  CD\) là đường trung bình của hình thang \(ABFE\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của hình thang)

 \( \Rightarrow CD = \dfrac{AB+EF}{2} = \dfrac{8+16}{2} \)\(\,= 12\,cm\) (tính chất đường trung bình của hình thang)

Hay \(x = 12\,cm.\)

Vì \(CD // HG\) nên \(CDHG\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang)

Vì \(GE = CE\) (giả thiết) và \(FH = DF\) (giả thiết) 

 \( \Rightarrow  EF\) là đường trung bình của hình thang \(CDHG\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của hình thang)

 \( \Rightarrow  EF = \dfrac{CD+GH}{2}\) (tính chất đường trung bình của hình thang)

\( \Rightarrow  GH = 2EF -CD = 2.16 - 12\)

\(GH = 20\,cm \) hay \(y = 20\,cm.\)

Vậy \(x = 12\,cm, y = 20\,cm.\)

Cho tứ giác \(ABCD.\) Gọi \(E, F, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD, BC, AC.\)

a) So sánh các độ dài \(EK\) và \(CD, KF\) và \(AB\)

b) Chứng minh rằng \(EF  ≤ \dfrac{AB+CD}{2}\)

Phương pháp giải

Áp dụng

• Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
• Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
• Định lí: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Hướng dẫn giải

Câu a: Xét \(∆ACD\) có \(E, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD, AC\) (giả thiết)

\(\Rightarrow EK\) là đường trung bình của \(∆ACD\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow EK = \dfrac{CD}{2}\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Xét \(∆ABC\) có \(K, F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AC, BC\) (giả thiết)

\(\Rightarrow FK\) là đường trung bình của \(∆ABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow KF = \dfrac{AB}{2}\)  (tính chất đường trung bình của tam giác).

Câu b: TH1: Ba điểm \(E, K, F\) không thẳng hàng

Xét \(\Delta EFK\) có: \(EF  < EK + KF\) (bất đẳng thức tam giác)

Nên \(EF < EK + KF = \dfrac{CD}{2} + \dfrac{AB}{2} \)\(\,= \dfrac{AB+CD}{2}\)

Hay \(EF < \dfrac{AB+CD}{2}\) (1)

TH2: Ba điểm \(E, K, F\) thẳng hàng

Khi đó:  \(EF = EK + KF = \dfrac{CD}{2} + \dfrac{AB}{2} \)\(\,= \dfrac{AB+CD}{2}\)

Hay \(EF = \dfrac{AB+CD}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EF \le \dfrac{AB+CD}{2}\).

Cho hình thang \(ABCD\) (\(AB // CD\)), \(E\) là trung điểm của \(AD,\) \(F\) là trung điểm của \(BC.\) Đường thẳng \(EF\) cắt \(BD\) ở \(I,\) cắt \(AC\) ở \(K.\)

a) Chứng minh rằng \(AK = KC, BI = ID\)

b) Cho \(AB = 6\,cm, CD = 10\,cm.\) Tính các độ dài \(EI, KF, IK\)

Phương pháp giải

Áp dụng

• Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
• Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên.
• Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy.
• Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
• Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Hướng dẫn giải

Câu a: Hình thang \(ABCD\) có \(E, F\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\) (giả thiết)

\( \Rightarrow  EF\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của hình thang )

\( \Rightarrow EF // AB // CD\) (tính chất đường trung bình của hình thang) 

\( \Rightarrow FK//AB, EI//AB\)

Xét \(∆ABC\) có: \(F\) là trung điểm của \(BC\) (giả thiết) và \(FK // AB\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  AK = KC\) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba )

Xét \(∆ABD\) có: \(E\) là trung điểm của \(AD\) (giả thiết) và \(EI // AB\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  DI = IB\) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba ).        

Câu b: Vì \(EF\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) (chứng minh trên)

nên \(EF = \dfrac{AB+CD}{2} = \dfrac{6+10}{2} = 8\,cm\) (tính chất đường trung bình của hình thang)

Xét \(∆ABD\) có: \(AE = ED\) (giả thiết) và \(DI = IB\) (chứng minh trên)

 \( \Rightarrow  EI\) là đường trung bình của \(∆ABD\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của  tam giác)

 \( \Rightarrow  EI = \dfrac{1}{2}.AB = \dfrac{1}{2}.6 = 3\; (cm)\) (tính chất đường trung bình của  tam giác)

Xét \(∆ABC\) có: \(BF = FC\) (giả thiết) và \(AK = KC\) (chứng minh trên)

 \( \Rightarrow  KF\) là đường trung bình của \( ∆ABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của  tam giác)

 \( \Rightarrow  KF = \dfrac{1}{2}.AB = \dfrac{1}{2}.6 = 3\; (cm)\) (tính chất đường trung bình của  tam giác)

Lại có \(EF = EI + IK + KF\)

nên \(IK = EF - (EI + KF) = 8 - (3 + 3)\)\(\, = 2 \;(cm).\)