Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \(\dfrac{5}{x^5y^3},\,\,\dfrac{7}{12x^3y^4}\)

b) \(\dfrac{4}{15x^3y^5},\,\,\dfrac{11}{12x^4y^2}\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc quy đồng mẫu thức: 

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Hướng dẫn giải

Câu a

Mẫu thức chung : \(12{x^5}{y^4}\)

Nhân tử phụ:

\(12{x^5}{y^4}:{\rm{ }}{x^5}{y^3} = {\rm{ }}12y\)

\(12{\rm{ }}{x^5}{y^4}:{\rm{ }}12{x^3}{y^4} = {\rm{ }}x^2\)

Quy đồng:

\( \dfrac{5}{x^{5}y^{3}}= \dfrac{5.12y}{x^{5}y^{3}.12y}= \dfrac{60y}{12x^{5}y^{4}}\)

\( \dfrac{7}{12x^{3}y^{4}}= \dfrac{7x^{2}}{12x^{3}y^{4}.x^{2}}= \dfrac{7x^{2}}{12x^{5}y^{4}}\)

Câu b

Mẫu thức chung : \(60{x^4}{y^5}\)

Nhân tử phụ: \(60{x^4}{y^5}:{\rm{ }}15{x^3}{y^5} = {\rm{ }}4x\)

                     \(60{x^4}{y^5}:{\rm{ }}12{x^4}{y^2} = {\rm{ }}5{y^3}\)

Quy đồng:

\( \dfrac{4}{15x^{3}y^{5}}= \dfrac{4.4x}{15x^{3}y^{{5}}.4x}= \dfrac{16x}{60x^{4}y^{5}}\)

\( \dfrac{11}{12x^{4}y^{2}}= \dfrac{11.5y^{3}}{12x^{4}y^{2}.5y^{3}}= \dfrac{55y^{3}}{60x^{4}y^{5}}\)

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \(\dfrac{5}{2x + 6},\,\,\dfrac{3}{x^2 - 9}\)

b) \(\dfrac{2x}{x^2-8x + 16},\,\,\dfrac{x}{3x^2 - 12x}\)

Phương pháp giải

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Hướng dẫn giải

Câu a: \(2x + 6 = 2(x + 3)\)

\(x^2- 9 = (x -3)(x + 3)\)

Mẫu thức chung là: \(2(x - 3)(x + 3)\)

Nhân tử phụ thứ nhất là: \((x-3)\)

Nhân tử phụ thứ hai là: \(2\)

Quy đồng:

\( \dfrac{5}{2x +6}=\dfrac{5}{2(x+3)}\)\(\,=\dfrac{5(x-3)}{2(x-3)(x+3)}\)

\( \dfrac{3}{x^{2}-9}= \dfrac{3}{(x-3)(x+3)}\)\(\,= \dfrac{3.2}{2(x-3)(x+3)}\)\(\,=\dfrac{6}{2(x-3)(x+3)}\)

Câu b: Tìm mẫu thức chung:

\({x^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}16{\rm{ }}  = {x^2} - 2.x.4 + {4^2}\)\(\,= {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2}\)

\(3x^2– 12x = 3x(x - 4)\)

Mẫu thức chung là: \(3x(x - 4)^2\)

Nhân tử phụ thứ nhất là: \(3x\)

Nhân tử phụ thứ hai là: \((x-4)\)

Quy đồng:

\( \dfrac{2x}{x^{2}-8x+16}=\dfrac{2x}{(x-4)^{2}}\)\(\,=\dfrac{2x.3x}{3x(x-4)^{2}}=\dfrac{6x^{2}}{3x(x-4)^{2}}\)

\( \dfrac{x}{3x^{2}-12}=\dfrac{x}{3x(x-4)}=\dfrac{x(x-4)}{3x(x-4)^{2}}\)

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu đối với một phân thức để tìm mẫu thức chung thuận tiện hơn)

a) \(\dfrac{4x^2 - 3x + 5}{x^3 - 1},\,\,\dfrac{1 - 2x}{x^2 + x + 1};\,\,-2\)

b) \(\dfrac{10}{x + 2},\,\,\dfrac{5}{2x - 4};\,\, \dfrac{1}{6 - 3x}\)

Phương pháp giải

- Áp dụng quy tắc đổi dấu.

- Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

+ Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

+ Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

+ Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Hướng dẫn giải

Câu a

Tìm mẫu thức chung:

\({x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)({x^2} + {\rm{ }}x + 1)\)

Nên mẫu thức chung là: \(\left( {x - 1} \right)({x^2} + {\rm{ }}x + 1)\)

Nhân tử phụ thứ nhất là \(1\)

Nhân tử phụ thứ hai là \((x-1)\)

Nhân tử phụ thứ ba là \(\left( {x - 1} \right)({x^2} + {\rm{ }}x + 1)\)

Quy đồng:

\( \dfrac{4x^{2}-3x+5}{x^{3}-1}=\dfrac{4x^{2}-3x+5}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\)

\( \dfrac{1-2x}{x^{2}+x+1}=\dfrac{(x-1)(1-2x)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\)

\(-2 =  \dfrac{-2(x^{3}-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\)

Câu b

Tìm mẫu thức chung:

\(x+ 2=x+2\)

\(2x - 4 = 2(x - 2)\)

\(6 - 3x = 3(2 - x) = -3(x -2)\)

Mẫu thức chung là: \(6(x - 2)(x + 2)\)

Nhân tử phụ thứ nhất là \(6(x-2)\)

Nhân tử phụ thứ hai là \(3(x+2)\)

Nhân tử phụ thứ ba là \(-2(x+2)\)

Quy đồng:

\( \dfrac{10}{x+2}= \dfrac{10.6.(x-2)}{6(x-2)(x+2)}\)\(\,=\dfrac{60(x-2)}{6(x-2)(x+2)}\)

\( \dfrac{5}{2x-4}=\dfrac{5}{2(x-2)}\)\(\,=\dfrac{5.3(x+2)}{2(x-2).3(x+2)}\)\(=\dfrac{15(x+2)}{6(x-2)(x+2)}\)

\( \dfrac{1}{6-3x}=\dfrac{1}{-3(x-2)}\)\(\,=\dfrac{-2(x+2)}{-3(x-2).[-2(x+2)]}\)\(=\dfrac{-2(x+2)}{6(x-2)(x+2)}\)

Đố. Cho hai phân thức:  \(\dfrac{5x^2}{x^3 - 6x^2},\,\,\dfrac{3x^2 + 18x}{x^2 - 36}\)

Khi quy đồng mẫu thức, bạn Tuấn đã chọn \(MTC = x^2(x - 6)(x + 6),\) còn bạn Lan bảo rằng: " Quá đơn giản! \(MTC = x - 6\)". Đố em biết bạn nào chọn đúng?

Phương pháp giải

Áp dụng qui tắc qui đồng mẫu thức các phân thức. 

Hướng dẫn giải

Cách làm của bạn Tuấn:

Bạn Tuấn trực tiếp đi tìm mẫu thức chung theo quy tắc: 

\(\begin{array}{l}
{x^3} - 6{{\rm{x}}^2} = {x^2}\left( {x - 6} \right)\\
{x^2} - 36 =x^2-6^2= \left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)\\
MTC = {x^2}\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)
\end{array}\)

Do đó bạn Tuấn làm đúng.

Cách làm của bạn Lan:

Bạn Lan rút gọn phân thức trước khi đi tìm mẫu thức chung:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{5{{\rm{x}}^2}}}{{{x^3} - 6{{\rm{x}}^2}}} = \dfrac{{5{{\rm{x}}^2}}}{{{x^2}\left( {x - 6} \right)}} = \dfrac{5}{{x - 6}}\\
\dfrac{{3{{\rm{x}}^2} + 18{\rm{x}}}}{{{x^2} - 36}} = \dfrac{{3{\rm{x}}\left( {x + 6} \right)}}{{\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right)}} = \dfrac{{3{\rm{x}}}}{{x - 6}}
\end{array}\)

Do đó \(MTC = x - 6\). Vậy bạn Lan làm đúng.

Vậy cả hai bạn đều làm đúng. Bạn Tuấn đã tìm MTC theo đúng qui tắc. Bạn Lan thì rút gọn các phân thức trước khi tìm MTC. 

* Nhận xét: Ta nên rút gọn hoàn toàn các phân thức trước khi quy đồng để việc quy đồng ngắn gọn hơn. 

Quy đồng mẫu thức hai phân thức:

a) \(\dfrac{3x}{2x + 4}\) và \(\dfrac{x + 3}{x^2 - 4}\)

b) \(\dfrac{x + 5}{x^2 + 4x + 4}\) và \(\dfrac{x}{3x + 6}\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc quy đồng mẫu thức:

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Hướng dẫn giải

Câu a

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử để tìm mẫu thức chung 

\(2x + 4 =2(x+2)\)

\({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\)

\(⇒ MTC = 2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 2\left( {{x^2} - 4} \right)\)

+ Nhân tử phụ:

\(2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) :2(x+2)=x-2\)

\(2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) :(x-2)(x+2)=2\)

+ Quy đồng:

\(\dfrac{{3x}}{{2x + 4}} = \dfrac{{3x\left( {x - 2} \right)}}{{2\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{3x\left( {x - 2} \right)}}{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}\)

\(\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} = \dfrac{{\left( {x + 3} \right).2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).2}} = \dfrac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}\)

Câu b

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử để tìm mẫu thức chung

\({x^2} + 4x + 4  = {x^2} + 2.x.2 + {2^2}= {\left( {x + 2} \right)^2}\)

\(3x + 6 = 3\left( {x + 2} \right)\)

Nên MTC = \(3{\left( {x + 2} \right)^2}\)

+ Nhân tử phụ:

\(3{\left( {x + 2} \right)^2}:(x+2)^2=3\)

\(3{\left( {x + 2} \right)^2}:3(x+2)=x+2\)

+ Quy đồng:

 \(\dfrac{{x + 5}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \dfrac{{\left( {x + 5} \right).3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}.3}} = \dfrac{{3\left( {x + 5} \right)}}{{3{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\(\dfrac{x}{{3x + 6}} = \dfrac{{x.\left( {x + 2} \right)}}{{3\left( {x + 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{3{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) \(\dfrac{1}{x + 2} ,\,\, \dfrac{8}{2x - x^2}\)

b) \(x^2 + 1 ,\,\, \dfrac{x^4}{x^2 - 1}\)

c) \(\dfrac{x^3}{x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3},\,\, \dfrac{x}{y^2 - xy}\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc quy đồng mẫu thức:

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Hướng dẫn giải

Câu a

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử để tìm MTC 

 \(2x – x^2 = x.(2 – x)\)

MTC = \(x\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)\)

+ Nhân tử phụ :

\(x.(2-x)(x+2) : (x + 2) = x.(2 – x)\)

 \(x(2-x)(x+2) : x(2 – x) = x + 2\)

+ Quy đồng:

\(\dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{1}{{2 + x}} = \dfrac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}\)\(\, = \dfrac{{2x - {x^2}}}{{x(2 - x)(2 + x)}}\)

\(\dfrac{8}{{2x - {x^2}}} = \dfrac{{8.(2 + x)}}{{x(2 - x)(2 + x)}}\)\(\, = \dfrac{{16 + 8x}}{{x(2 - x)(2 + x)}}\)

Câu b

MTC = \({x^2} - 1\)

Quy đồng: 

\({x^2} + 1 = \dfrac{{{x^2} + 1}}{1} = \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{{x^4} - 1}}{{{x^2} - 1}}\)

\(\dfrac{{{x^4}}}{{{x^2} - 1}}\) giữ nguyên.

Câu c

Ta có: \(\dfrac{x}{{{y^2} - xy}} = \dfrac{-x}{{xy-y^2}}\) 

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử: 

\({x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3} = {\left( {x - y} \right)^3}\)

\(xy-{y^2}  = y\left( {x - y} \right) \)

 MTC = \(y{\left( {x - y} \right)^3}\)

+ Nhân tử phụ :

 \(y(x – y)^3 : (x – y)^3 = y\)

 \(y(x – y)^3 : y(x – y) = (x – y)^2\)

+ Quy đồng mẫu thức :

\(\dfrac{{{x^3}}}{{{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}}} = \dfrac{{{x^3}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^3}}} \)\(\,= \dfrac{{{x^3}y}}{{y{{\left( {x - y} \right)}^3}}}\)

\(\dfrac{x}{{{y^2} - xy}} = \dfrac{-x}{{xy-y^2}} \)\(\, = \dfrac{{ - x}}{{y\left( {x - y} \right)}} = \dfrac{{ - x{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{y(x-y).{{(x - y)}^2}}}\)\(= \dfrac{{ - x{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{y{{(x - y)}^3}}}\)

Cho hai phân thức: \(\dfrac{1}{x^2 + 3x - 10},\,\, \dfrac{x}{x^2 + 7x + 10}\)

Không dùng cách phân tích các mẫu thức thành nhân tử, hãy chứng tỏ rằng có thể qui đồng mẫu thức hai phân thức này với mẫu thức chung là \(x^3 + 5x^2 - 4x -20.\)

Phương pháp giải

Để chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức  \({x^3} + 5{x^2} - 4x - 20\) làm mẫu thức chung ta chỉ cần chứng tỏ rằng nó chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

Hướng dẫn giải

Thật vậy, ta có:
\(\dfrac{x^3 + 5x^2 – 4x – 20}{x^2 + 3x - 10} = x + 2\)
\(\dfrac{x^3 + 5x^2 – 4x – 20}{x^2 + 7x + 10} = x - 2\)

Vậy 
\(\dfrac{1}{x^2 + 3x - 10} = \dfrac{1.(x + 2)}{(x^2 + 3x - 10)(x + 2)} = \dfrac{x + 2}{x^3 + 5x^2 - 4x - 20}\)
\(\dfrac{x}{x^2 + 7x + 10} = \dfrac{x.(x - 2)}{(x^2 + 7x + 10)(x - 2)} = \dfrac{x(x - 2)}{x^3 + 5x^2 - 4x - 20}\)