Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) $(-6).5 < (-5).5$

b) $(-6).(-3) < (-5).(-3)$

c) $(-2003).(-2005) ≤ (-2005).2004$

d) $-3x^2 ≤ 0$

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: $-6 < -5$ 

Áp dụng tính chất của bất đẳng thức, ta nhân $5$ vào hai vế bất đẳng thức $-6 < -5$ ta được:

$(-6).5 < (-5).5$

Vậy khẳng định $(-6).5 < (-5).5$ là đúng.

Câu b

Ta có: $-6 < -5$ 

Áp dụng tính chất của bất đẳng thức, ta nhân $(-3)$ vào hai vế bất đẳng thức $-6 < -5$ ta được:

$(-6).(-3) > (-5).(-3)$

Vậy khẳng định $(-6).(-3) < (-5).(-3)$ là sai.

Câu c

Ta có: $-2003 ≤ 2004$

Áp dụng tính chất của bất đẳng thức, ta nhân $-2005$ vào hai vế bất đẳng thức $-2003 ≤ 2004$ ta được:

$(-2003).(-2005) ≥ (-2005).2004$

Vậy khẳng định $(-2003).(-2005) ≤ (-2005).2004$ là sai.

Câu d

${x^2} \geqslant 0$ với mọi $x\in\mathbb R$

Áp dụng tính chất của bất đẳng thức, ta nhân $-3$ vào hai vế bất đẳng thức ${x^2} \geqslant 0$ ta được:

$- 3{x^2} \leqslant 0$

Vậy khẳng định $- 3{x^2} \leqslant 0$ là đúng.

Cho a

$2a$ và $2b$

$2a$ và $a+b$

$-a$ và $-b$

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm, liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.

Hướng dẫn giải

Ta có: $a < b$

+) Áp dụng tính chất của bất đẳng thức, ta nhân $2$ vào hai vế của bất đẳng thức \(a

$2a < 2b$

+) Áp dụng tính chất của bất đẳng thức, ta cộng $a$ vào hai vế của bất đẳng thức \(a

$a + a < a + b$

Do đó: $2a < a + b$.

+) Áp dụng tính chất của bất đẳng thức, ta nhân $(-1)$ vào hai vế của bất đẳng thức \(a

$a.(-1)>b.(-1)$

Do đó: $-a > -b$.

Số a là số âm hay dương nếu:

a) $12a<15a?$

b) $4a<3a?$

c) $-3a<-5a?$

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm.

*) Với ba số $a, b$ và $c$ trong đó $c > 0$, ta có:

Nếu $a < b$ thì $ac < bc$; nếu $a ≤ b$ thì $ac ≤ bc$;

Nếu $a > b$ thì $ac > bc$; nếu $a ≥ b$ thì $ac ≥ bc$.

*) Với ba số $a, b$ và $c$ trong đó $c < 0$, ta có:

Nếu $a < b$ thì $ac > bc$; nếu $a ≤ b$ thì $ac ≥ bc$;

Nếu $a > b$ thì $ac < bc$; nếu $a ≥ b$ thì $ac ≤ bc$. 

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: $12 < 15$. Để có bất đẳng thức

$12a < 15a$ ta phải nhân cả hai vế của bất đẳng thức $12 < 15$ với số $a$.

Để được bất đẳng thức cùng chiều thì $a > 0$.

Câu b

Vì $4 > 3$ và $4a < 3a$ trái chiều. Để nhân hai vế của bất đẳng thức $4 > 3$ với $a$ được bất đẳng thức trái chiều thì $a < 0$.

Câu c

Từ $-3 > -5$ để có $-3a > -5a$ thì ta phải nhân cả hai vế của bất đẳng thức đó với số $a>0$.

Cho a < b, chứng tỏ

a) $2a-3<2b-3$

b) $2a-3<2b+5$

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm, liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, tính chất bắc cầu.

Hướng dẫn giải

Câu a

Bài ra đã cho $a < b$.

Nhân hai vế của bất đẳng thức \(a

Cộng số $(-3)$ vào hai vế bất đẳng thức $2a < 2b$, ta có $2a - 3 < 2b - 3$.

Câu b

So sánh hai số $-3$ và $5$, ta có $-3<5$.

Cộng số $2b$ vào hai vế của $-3 < 5$ ta có $2b - 3 < 2b + 5$

Mặt khác, theo kết quả câu a) ta có $2a - 3 < 2b - 3$

Vậy, theo tính chất bắc cầu với số $2a-3$, số $2b-3$ và số $2b+5$, ta có $2a - 3 < 2b + 5$.

Cho tam giác ABC . Các khẳng định sau đúng hay sai ? 

a) $\widehat A + \widehat B + \widehat C > {180^0}$

b) $\widehat A + \widehat B < {180^0}$

c) $\widehat B + \widehat C \leqslant  {180^0}$ 

d) $\widehat A + \widehat B \ge {180^0}$

Phương pháp giải

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong một tam giác bằng ${180^0}$

Hướng dẫn giải

Xét $∆ABC$, áp dụng định lí tổng 3 góc trong một tam giác ta có: ${\widehat A + \widehat B + \widehat C=180^0}$ nên: 

Câu a: $\widehat A + \widehat B + \widehat C > {180^0}$ là sai             

Câu b: $\widehat A + \widehat B < {180^0}$ là đúng vì $\widehat A + \widehat B =180^0-\widehat C < {180^0}$

Câu c: $\widehat B + \widehat C  \leqslant  {180^0}$ là đúng vì $\widehat B + \widehat C =180^0-\widehat A \le {180^0}$

Câu d: $\widehat A + \widehat B \ge {180^0}$ là sai (theo câu b) 

a) So sánh $(-2).3$ và $-4,5$.

b) Từ kết quả câu a) hãy suy ra các bất đẳng thức sau:

$(-2).30 < -45$;

$(-2).3 + 4,5 <0$.

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và phép cộng.

Hướng dẫn giải

Câu a: So sánh $(-2).3$ và $-4,5$.

Ta có: $-2 < -1,5$ và $3 > 0$

Nhân $3$ vào hai vế bất đẳng thức $-2 < -1,5$ ta được:

$(-2).3 < (-1,5).3$

Do đó: $(-2).3 < -4,5$

Câu b: Từ bất đẳng thức: $(-2).3 < -4,5$ ta nhân cả hai vế của bất đẳng thức với $10 > 0$  thì ta được:

$(-2).3.10 < (-4,5).10$

Do đó: $(-2).30 < -45$ (điều phải chứng minh)

Từ bất đẳng thức: $(-2).3 < -4,5$ ta cộng vào cả hai vế với $4,5$ thì ta được:

 $\left( { - 2} \right).3 + 4,5 <  - 4,5 + 4,5$

Do đó: $(-2).3 + 4,5 < 0$ (điều phải chứng minh).

Cho $a < b$, chứng minh:

a) $3a + 1 < 3b + 1$

b) $-2a - 5 > -2b - 5$

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm, liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: $a < b$

Nhân $3$ vào hai vế bất đẳng thức \(a

$3a < 3b$ (Vì $3 > 0$)

Cộng $1$ vào hai vế bất đẳng thức $3a<3b$ ta được:

$3a + 1 < 3b +1$

Câu b

Ta có: $a < b$

Nhân $(-2)$ vào hai vế bất đẳng thức \(a

$-2a > -2b$ (Vì $-2 < 0$)

Cộng $-5$ vào hai vế bất đẳng thức $-2a > -2b$ ta được:

$-2a - 5 > -2b -5$

Chứng minh:

a) $4.(-2) + 14 < 4.(-1) + 14$

b) $(-3).2 + 5 < (-3). (-5) + 5$

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm, liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: $-2 < -1$

Nhân $4$ vào hai vế bất đẳng thức $-2 < -1$ ta được:

$4. (-2) < 4. (-1)$  ( Vì $4 > 0$)

Cộng $14$ vào hai vế bất đẳng thức $4. (-2) < 4. (-1)$ ta được:

$4 .(-2) + 14 < 4. (-1) + 14$  (điều phải chứng minh).

Câu b

$2 > -5$

Nhân $(-3)$ vào hai vế bất đẳng thức $2 > -5$ ta được:

$(-3).2 < (-3) .(-5)$  (Vì $-3 < 0$)

Cộng $5$ vào hai vế bất đẳng thức $(-3).2 < (-3). (-5)$ ta được:

$(-3).2 + 5 < (-3).(-5) + 5$  (điều phải chứng minh)

So sánh $a$ và $b$ nếu:

a) $a + 5$ < $b + 5$

b) $-3a > -3b$

c) $5a - 6 ≥ 5b - 6$

d) $-2a + 3 ≤ -2b + 3$

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương và số âm, liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: $a + 5 < b +5$

Cộng $(-5)$ và hai vế bất đẳng thức $a + 5 < b +5$ ta được:

$a + 5 + (-5) < b + 5 + (-5)$

Do đó: $a < b$.

Câu b

Ta có: $-3a > -3b$

Nhân cả hai vế bất đẳng thức $-3a > -3b$ với $\dfrac{{ - 1}}{3} < 0$ ta được:

$- 3a.\left( {\dfrac{-1}{3}} \right) <  - 3b.\left( { \dfrac{-1}{3}} \right)$

Do đó: $a  < b$

Câu c

Ta có: $5a -6 ≥ 5b – 6$

Cộng hai vế bất đẳng thức  $5a - 6 ≥ 5b - 6$ với $6$ ta được:

$5a - 6 + 6 ≥ 5b - 6 + 6$

Do đó: $5a ≥ 5b$

Nhân hai vế bất đẳng thức $5a ≥ 5b$ với $\dfrac{1}{5}>0$ ta được:

$5a.\dfrac{1}{5} \geqslant 5b.\dfrac{1}{5}$ 

Do đó: $a \ge b$

Câu d

$-2a + 3 ≤ -2b + 3$

Cộng hai vế bất đẳng thức $-2a + 3 ≤ -2b + 3$ với $(-3)$ ta được

$-2a + 3+(-3) ≤ -2b + 3+(-3)$

Do đó: $-2a ≤ -2b$

Nhân cả hai vế bất đẳng thức $-2a ≤ -2b$ với $\dfrac{{ - 1}}{2} < 0$ ta được:

$- 2a\left( {  \dfrac{-1}{2}} \right) \geqslant  - 2b.\left( {  \dfrac{-1}{2}} \right)$ 

Do đó $a \ge b$

Cho $a < b$, hãy so sánh

a) $2a + 1$ với $2b + 1$

b) $2a + 1$ với $2b +3$

Phương pháp giải

Câu a

Ta có: $a < b$

Nhân vào hai vế bất đẳng thức $a < b$ với $2>0$ ta được:

$2a < 2b$

Cộng vào hai vế bất đẳng thức $2a < 2b$ với $1$ ta được:

$2a +1 <  2b +1$

Câu b

Ta có: $1<3$

Cộng vào hai vế bất đẳng thức $1<3$ với $2b$ ta được:

$2b+1<2b+3$                (1)

Mặt khác: $2a +1 <  2b +1$ (chứng minh câu a)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $2a+1<2b+3$ (tính chất bắc cầu)