Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 2 đơn vị thì được phân số mới bằng \(\frac{1}{2}\). Tìm phân số ban đầu

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt tử số là ẩn tìm điều kiện của ẩn và biểu diễn phân số đó theo ẩn.

Bước 2: Dựa vào dữ kiện của đề bài lập phương trình.

Bước 3: Giải phương trình.

Bước 4: Kết luận (Kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn các điều kiện của ẩn không)

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là tử số của phân số ( \(x \in Z,x \ne  - 3)\)

Vì mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là \(3\) đơn vị nên mẫu số của phân số là \(x + 3\).

Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm \(2\) đơn vị thì ta được phân số lúc sau là\(\dfrac{{x + 2}}{{x + 3 + 2}} = \dfrac{{x + 2}}{{x + 5}}\)   \((x \ne  - 5)\)

Vì phân số mới bằng \(\dfrac{1}{2}\) nên ta có phương trình :

\(\eqalign{
& {{x + 2} \over {x + 5}} = {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow {{2\left( {x + 2} \right)} \over {2\left( {x + 5} \right)}} = {{x + 5} \over {2\left( {x + 5} \right)}} \cr
& \Rightarrow 2\left( {x + 2} \right) = x + 5 \cr
& \Leftrightarrow 2x + 4 = x + 5 \cr
& \Leftrightarrow 2x - x = 5 - 4 \cr
& \Leftrightarrow x = 1\text{ (thỏa mãn)} \cr} \)

Mẫu số của phân số cần tìm là: \(x+3=1+3=4\)

Vậy phân số lúc đầu là:\(\dfrac{1}{4}\)

Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng \(\dfrac{1}{8}\) số học sinh cả lớp. Sang học kì hai, có thêm \(3\) bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng \(20\%\) số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt tử số là ẩn tìm điều kiện của ẩn và biểu diễn phân số đó theo ẩn.

Bước 2: Dựa vào dữ kiện của đề bài lập phương trình.

Bước 3: Giải phương trình.

Bước 4: Kết luận (Kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn các điều kiện của ẩn không)

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số học sinh cả lớp 8A (điều kiện \(x\) nguyên dương)

Số học sinh giỏi trong học kì I là: \(\dfrac{1}{8}x\) (học sinh)

Số học sinh giỏi trong học kì II là: \(\dfrac{1}{8}x + 3\) (học sinh)

Vì số học sinh giỏi trong học kì II bằng \(20\% =\dfrac{20}{100}\) số học sinh cả lớp nên ta có phương trình:

\(\eqalign{
& {1 \over 8}x + 3 = {{20} \over {100}}x \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 8}x + 3 = {1 \over 5}x \cr
& \Leftrightarrow {{5x} \over {40}} + {{3.40} \over {40}} = {{8x} \over {40}} \cr
& \Leftrightarrow 5x + 120 = 8x \cr
& \Leftrightarrow 5x - 8x = - 120 \cr
& \Leftrightarrow - 3x = - 120 \cr
& \Leftrightarrow x = \left( { - 120} \right):\left( { - 3} \right) \cr
& \Leftrightarrow x = 40 \text{ (thỏa mãn)}\cr} \)

Vậy số học sinh của lớp 8A là \(40\) học sinh.

(Bài toán nói về cuộc đời nhà toán học Đi – ô – phăng, lấy trong Hợp tuyển Hi Lạp – Cuốn sách gồm 46 bài toán về số,viết dưới dạng thơ trào phúng),

Thời thơ ấu của Đi – ô – phăng chiếm \(\dfrac{1}{6}\) cuộc đời

 \(\dfrac{1}{{12}}\)  cuộc đời tiếp theo là thời thanh niên sôi nổi

Thêm \(\dfrac{1}{7}\) cuộc đời nữa ông sống độc thân

Sau khi lập gia đình được \(5\) năm thì sinh một con trai

Nhưng số mệnh chỉ cho con sống bằng nửa đời cha

Ông đã từ trần \(4\) năm sau khi con mất

Đi – ô – phăng sống bao nhiêu tuổi, hãy tính cho ra?

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt tử số là ẩn tìm điều kiện của ẩn và biểu diễn phân số đó theo ẩn.

Bước 2: Dựa vào dữ kiện của đề bài lập phương trình.

Bước 3: Giải phương trình.

Bước 4: Kết luận (Kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn các điều kiện của ẩn không)

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số tuổi của ông Đi – ô – phăng (\(x\) nguyên dương)

Thời thơ ấu của ông: \(\dfrac{1}{6}x\)

Thời thanh niên là: \(\dfrac{1}{{12}}x\)

Thời gian sống độc thân là:\(\dfrac{1}{7}x\)

Thời gian lập gia đình đến khi có con và mất: \(5 + \dfrac{1}{2}x + 4\)

Ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{6}x + \dfrac{1}{{12}}x + \dfrac{1}{7}x + 5 + \dfrac{1}{2}x + 4 = x\)

⇔\(\dfrac{{14x}}{{84}} + \dfrac{{7x}}{{84}} + \dfrac{{12x}}{{84}} + \dfrac{{420}}{{84}} + \dfrac{{42x}}{{84}} \)\(\,+ \dfrac{{336}}{{84}} = \dfrac{{84x}}{{84}}\)

⇔\(14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 \)\(= 84x\)

⇔\(75x + 756 = 84x\)

⇔\(756=84x-75x\)

⇔\(9x = 756\)

⇔\(x=756:9\)

⇔\(x = 84\) (thỏa mãn)

Vậy nhà toán học Đi – ô – phăng thọ \(84\) tuổi.