Giải bài tập SGK Toán 8 Ôn tập chương 3: Tam giác đồng dạng

Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$ trong các trường hợp sau:

a) $AB = 5cm,\, CD = 15cm$

b) $AB = 45dm;\, CD = 150cm$

c) $AB = 5CD$

Phương pháp giải

Tỉ số của hai đoạn thẳng $AB$ và $DC$ là tỉ số độ dài cùng đơn vị đo của hai đoạn thẳng đó

Hướng dẫn giải

a) $AB  = 5cm$ và $CD = 15cm$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{5}{{15}} = \dfrac{1}{3}$

b) $AB = 45dm = 450cm$ và $CD = 150 cm$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{450}}{{150}} = 3$

c) $AB = 5CD$ $\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{5CD}}{{CD}} = 5$

Cho tam giác $ABC (AB < AC)$. Vẽ đường cao $AH$, đường phân giác $AD$, đường trung tuyến $AM$. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm $H, D, M$.

Phương pháp giải

Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác chứng minh:

Bước 1: $M$ nằm giữa $D$ và $C$

Bước 2: $D$ nằm giữa hai điểm $H$ và $C$

Bước 3: Kết luận: $D$ nằm giữa $H$ và $M.$

Hướng dẫn giải

Cho tam giác cân $ABC (AB = AC)$, vẽ các đường cao $BH, CK$ (H.66).

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác vuông $BKC$ và $CHB$ bằng nhau.

b) Sử dụng định lí Ta lét đảo chứng minh: $\dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AC}}$

c) Vẽ thêm đường cao $AI$, xét hai tam giác đồng dạng $IAC$ và $HBC$ rồi tính $CH$.

Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng $AKH$ và $ABC$ rồi tính $HK$.

Hướng dẫn giải

a) Xét hai tam giác vuông $BKC$ và $CHB$ có:

$\widehat {KBC} = \widehat {HCB}$ ($∆ABC$ cân tại $A$)

$BC$ là cạnh chung 

$\Rightarrow ∆BKC = ∆CHB$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow BK = CH$ (2 cạnh tương ứng)

b) Ta có : $AK = AB - BK, AH = AC - HC$ (gt)

Mà $AB = AC$ ($∆ABC$ cân tại $A$)

$BK = CH$ (chứng minh trên) 

$\Rightarrow  AK = AH$

Do đó : $\dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AC}}$ $\Rightarrow KH // BC$ (định lí Ta lét đảo)

c) $BH$ cắt $CK$ tại $M \Rightarrow M$ là trực tâm của $∆ABC$ (định nghĩa trực tâm)

$\Rightarrow AM ⊥ BC$ tại $I$ (tính chất trực tâm)

Xét $∆AIC$ và $∆BHC$ có:

$\widehat{I} = \widehat{H } = 90^o$

$\widehat{C}$ chung

$\Rightarrow ∆AIC \backsim ∆BHC$ (g - g)

$\Rightarrow \dfrac{IC}{HC} = \dfrac{AC}{BC}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2}}{HC} = \dfrac{b}{a}\\ \Rightarrow HC = \dfrac{BC.AH}{AC}\\ \Rightarrow HK = \dfrac{a}{b}. \dfrac{2b^2 - a^2}{2b} = \dfrac{2ab^2 - a^3}{2b^2} = a - \dfrac{a^3}{2b^2}$

Hình thang $ABCD \,(AB//CD)$ có $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O, AD$ và $BC$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh rằng $OK$ đi qua trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$.

Phương pháp giải

- Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $AB, CD$ cắt $AD, BC$ lần lượt tại $E, F$.

- Chứng minh $\dfrac{{AN}}{{EO}}=\dfrac{{BN}}{{FO}}$.

- Chứng minh $\dfrac{{EO}}{{DM}}=\dfrac{{FO}}{{CM}}$.

Hướng dẫn giải

Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $AB, CD$ cắt $AD, BC$ lần lượt tại $E, F$.

Suy ra $AB//EF//CD$

Gọi N là giao của KO và AB, M là giao của KO với DC.

Ta có: $OE // DC$ (gt) 

$\Rightarrow \dfrac{{OE}}{{DC}} = \dfrac{{AO}}{{AC}}\left( 1 \right)$ (hệ quả của định lí TaLet)

$OF // DC$ (gt)

$\Rightarrow \dfrac{{OF}}{{DC}} = \dfrac{{BF}}{{BC}}\left( 2 \right)$ (hệ quả của định lí TaLet)

$OF // AB$ (gt)

$\Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BC}} = \dfrac{{OA}}{{AC}}$ (3) (hệ quả của định lí TaLet)

Từ (1), (2) và (3) ta có: 

$\dfrac{{OE}}{{DC}} = \dfrac{{OF}}{{DC}} \Rightarrow OE = OF$

Ta có: $AB//EF$ (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có: 

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{KN}}{{K{\rm{O}}}};\,\dfrac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} = \dfrac{{KN}}{{K{\rm{O}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} \\\text{Mà  } EO=FO\\ \Rightarrow AN = BN \end{array}$

$\Rightarrow$ $N$ là trung điểm của $AB.$

Tương tự ta có: $EF // DC$ (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{KO}}{{K{\rm{M}}}};\,\dfrac{{FO}}{{C{\rm{M}}}} = \dfrac{{KO}}{{K{\rm{M}}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{FO}}{{C{\rm{M}}}}\\\text{Mà  }EO=FO\\ \Rightarrow DM = CM \end{array}$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $CD$.

Vậy $OK$ đi qua trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$. 

Cho tam giác vuông $ABC$, $\widehat A =90^0, \widehat C=30^0$ và đường phân giác $BD$ ($D$ thuộc cạnh $AC$). 

a) Tính tỉ số $\dfrac{{A{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}}$ .

b) Cho biết độ dài $AB = 12,5 cm$. Hãy tính chu vi và diện tích của tam giác $ABC$.

Phương pháp giải

Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, định lí Pitago, công thức tính chu vi và diện tích của tam giác.

a) Muốn tính tỉ số $\dfrac{{A{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}}$ ta cần chứng minh $\dfrac{{AB}}{{BC}} =\dfrac{{AB}}{{BB'}}= \dfrac{1}{2}$

b) Xét tam giác $ABC$

- Chu vi tam giác là: $p = AB + BC + CA$

- Diện tích tam giác là: ${S_{ABC}} = \dfrac{1 }{ 2}AB.AC$

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác $BCA$ vuông tại $A$ (gt) có: 

$\begin{array}{l} \widehat {ACB} + \widehat {ABC} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {ABC} = {90^0} - \widehat {ACB} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {90^0} - {30^0} = {60^0} \end{array}$

Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $B'$ sao cho $AB = AB'$ (1)

Xét hai tam giác vuông $ABC$ và $AB'C$ có:

$AC$ chung (gt)

$AB = AB'$ (gt)

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta AB'C$ (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BC = B'C$ (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \Delta BB'C$ cân tại $C$.

Lại có $\widehat {ABC} = {60^0}$ nên suy ra $\Delta BB'C$ đều (dấu hiệu nhận biết tam giác đều) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BC}} =\dfrac{{AB}}{{BB'}}= \dfrac{1}{2}$

Vì $BD$ là đường phân giác của $\Delta ABC$ nên:

$\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}$

b) $∆ABC$ vuông tại $A$ nên áp dụng định lí Pitago ta có:

$\eqalign{ & A{C^2} = B{C^2} - A{B^2},\,BC = 2AB \cr & \Rightarrow A{C^2} = 4A{B^2} - A{B^2} = 3A{B^2} \cr & \Rightarrow AC = \sqrt {3A{B^2}} = AB\sqrt 3 \cr & = 12,5\sqrt 3 \approx 21,65\,cm \cr}$

Gọi $p$ là chu vi $∆ABC$

$\Rightarrow p = AB + BC + CA$

$\Rightarrow p = 3AB + AC = 3.12,5 + 12,5\sqrt 3$

$\Rightarrow p = 12,5 (3+\sqrt 3 ) \approx 59,15\left( {cm} \right)$

${S_{ABC}} = \dfrac{1 }{ 2}AB.AC \approx 135,31(c{m^2})$

Tứ giác $ABCD$ có $AB = 4cm, BC = 20 cm$, $CD = 25 cm, DA = 8cm$, đường chéo $BD = 10cm$.

a) Nêu cách vẽ tứ giác $ABCD$ có kích thước đã cho ở trên.

b) Các tam giác $ABD$ và $BDC$ có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

c) Chứng minh rằng $AB // CD$.

Phương pháp giải

Áp dụng cách vẽ tam giác, dấu hiệu nhận biết hình thang, dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng.

Hướng dẫn giải

a) Cách vẽ:

- Vẽ $ΔBDC$:

+ Vẽ $DC = 25cm$

+ Vẽ cung tròn tâm $D$ có bán kính $10cm$ và cung tròn tâm $C$ có bán kính $20cm$. Giao điểm của hai cung tròn là $B$.

- Vẽ điểm A: Vẽ cung tròn tâm $B$ có bán kính $4cm$ và cung tròn tâm $D$ có bán kính $8cm$. Giao điểm của hai cung tròn này là điểm $A$. Nối các cạnh BD, BC, DA, BA. 

Vậy là ta đã vẽ được tứ giác $ABCD$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

b) Ta có: $\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{4}{{10}} = \dfrac{2}{5};$ $\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{10}}{{25}} = \dfrac{2}{5};$ $\dfrac{{AD}}{{BC}} = \dfrac{8}{{20}} = \dfrac{2}{5}$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AD}}{{BC}}$

$\Rightarrow \Delta AB{\rm{D}} \backsim \Delta B{\rm{D}}C\left( {c - c - c} \right)$

c) $∆ABD∽ ∆BDC$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC}$, mà hai góc ở vị trí so le trong.

$\Rightarrow AB // DC$ hay $ABCD$ là hình thang.