Giải bài tập SGK Toán 8 Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất

Cho hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có kích thước như trong hình $35.$

a) $ΔABC$ và $ΔA'B'C'$ có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

b) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đó.

Phương pháp giải

Bước 1: Tính các tỉ số: $\dfrac{AB}{A'B'};\dfrac{AC}{A'C'}$ và $\dfrac {BC}{B'C'}$

Bước 2: So sánh các tỉ số.

- Nếu $\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{BC}{B'C'}$ thì hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 

$\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \\ \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} \\ \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2} \\ \Rightarrow \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{3}{2} \\$

$\Rightarrow ΔABC \backsim ΔA'B'C'$ (c - c - c)

b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{AB + AC + BC}{A'B' + A'C' + B'C'} = \dfrac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}} = \dfrac{3}{2}$

Tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh là $AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm$. Tam giác $A'B'C'$ đồng dạng với tam giác $ABC$ và có chu vi bằng $55 cm$. 

Hãy tính độ dài các cạnh của $A'B'C'$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{b}=\dfrac c d=\dfrac e f=\dfrac{a+b+c}{b+d+f}$

Hướng dẫn giải

$∆ABC ∽ ∆A'B'C'$ (giả thiết)
$\Rightarrow \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{CA}{C'A'} = \dfrac{AB + BC + CA}{A'B' + B'C' + C'A'} = \dfrac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}$ (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$Hay \dfrac{3}{A'B'} = \dfrac{7}{B'C'} = \dfrac{5}{C'A'} = \dfrac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}= \dfrac{3 + 5 = 7}{55} = \dfrac{3}{11} \Rightarrow A'B' = 11cm\\ B'C' = \dfrac{7.11}{3}≈ 25.67cm\\ A'C' = \dfrac{5.11}{3}≈ 18,33cm\\$

Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là $\dfrac{15}{17}$ và hiệu độ dài hai cạnh tương ứng của chúng là $12,5cm.$ Tính hai cạnh đó.

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất: Tỉ số hai chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac a b =\dfrac c d =\dfrac {a-c}{b-d}$

Hướng dẫn giải

Giả sử $∆A'B'C'$ đồng dạng $∆ABC$ và $AB-A'B'=12,5 cm$.

Vì $∆A'B'C'$ đồng dạng $∆ABC$ (giả thiết) nên ta có: 

$\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{C'A'}}{{CA}}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{C'A'}}{{CA}}$$\,= \dfrac{{A'B' + B'C' + C'A'}}{{AB + BC + CA}}$$\, = \dfrac{{{C_{A'B'C'}}}}{{{C_{ABC}}}} = \dfrac{{15}}{{17}}$

(với $C_{ABC}$ và $C_{A'B'C'}$ lần lượt là chu vi của hai tam giác $ABC, A'B'C'$) 

Do đó, $\dfrac{{A'B'}}{{AB}} =\dfrac{{15}}{{17}}$ 

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{A'B'}} =\dfrac{{17}}{{15}}$ 

$\eqalign{ & \Rightarrow {{AB} \over {A'B'}} - 1 = {{17} \over {15}} - 1 \cr & \Rightarrow {{AB - A'B'} \over {A'B'}} = {{17 - 15} \over {15}} \cr & \Rightarrow {{12,5} \over {A'B'}} = {2 \over {15}} \cr}$

$\Rightarrow A'B' = \dfrac{{15}}{2}.12,5 = 93,75\,cm$

Lại có: $AB - A'B' = 12,5\,cm$

$\Rightarrow AB = 12,5 + 93,75 = 106,25\,\,cm.$